Question

9．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得（x-2）f（x）＜0的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 根据f（x）的奇偶性及在（-∞，0]上的单调性可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再由f（x）图象上的特殊点可作出f（x）在R上的草图，根据图象可解得不等式．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0，作出函数f（x）在R上的草图，如图所示：
由图象知，（x-2）f（x）＜0?$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-2＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$?x＜-2，
∴使得（x-2）f（x）＜0的x的取值范围为（-∞，-2），
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．