Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（I）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小；
（Ⅲ）求证：平面SAC⊥平面AMN．

Answer 1

分析：此题可有多种方法求解：
方法一：
（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ACM内找到与直线SB平行的直线就可以了，因为M为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．；
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理，在找垂线的时候，应以题中本来就有的垂线优先，如SA⊥底面ABCD，所以可取AD中点F，则MF∥SA，所以MF⊥底面ABCD．
（3）可从结论反推：因为平面SAC∩平面AMN=AN，并且AN⊥SC，易知：只要想办法证明SC⊥平面AMN就可以了
方法二：
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以DA、BA、SA为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

解答：解：方法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于E，连接ME．（1分）
∵ABCD是正方形，
∴E是BD的中点．
∵M是SD的中点，
∴ME是△DSB的中位线．
∴ME∥SB．（2分）
又∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，（3分）
∴SB∥平面ACM．（4分）

（Ⅱ）解：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连接MQ．（5分）
∵SA⊥底面ABCD，
∴MF⊥底面ABCD．
∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．
∵FQ⊥AC，
∴MQ⊥AC．
∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角．（7分）
设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，MF=

1

2

SA=

a

2

，FQ=

1

2

DE=

2

4

a，
∴tanFQM=

a 2

2 4 a

=

2

．
∴二面角D-AC-M的大小为arctan

2

．（9分）

（III）证明：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴AM⊥DC．（10分）
又∵SA=AD，M是SD的中点，
∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．（11分）
∴SC⊥AM．
由已知SC⊥MN，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．（14分）

方法二：解：（II）如图，以A为坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，（5分）
由SA=AB故设AB=AD=AS=1，则．
∵SA⊥底面ABCD，
∴

AS

是平面ABCD的法向量，

AS

=(0，0，1)．
设平面ACM的法向量为n=（x，y，z），

AC

=(1，1，0)，

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，（7分）
则

n• AC =0 n• AM =0.

即

x+y+0=0 1 2 x+0+ 1 2 z=0.

∴

y=-x z=-x.

令x=1，则n=（1，-1，-1）．（8分）
∴cos＜

AS

，n＞=

AS •n

| AS |•|n|

=

-1

1× 3

=-

3

3

，
∴二面角D-AC-M的大小为arccos

3

3

．（9分）
（III）∵

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

CS

=(-1，-1，1)，（10分）
∴

AM

•

CS

=-

1

2

+

1

2

=0∴

AM

⊥

CS

（12分）
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A．
∴SC⊥平面AMN．又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力