Question

给出若干数字按如图所示排成三角形，其中最后一行各数依次是1，2，3，…，n，从倒数第二行起直到第一行，每个数分别等于下一行左、右两数之和，第一行只有一个数M，这个数M叫n阶“金字数”，当n=2013时，“金字数”M为（ ）

A．2011×2²⁰¹¹
B．2012×2²⁰¹⁰
C．2013×2²⁰¹¹
D．2014×2²⁰¹¹

Answer 1

【答案】分析：法一：设倒数第一，二，三，四行的数列分别为{a_n}，{b_n}，{c_n}，{d_n}，则有b₁+b_n-1=2（a₁+a_n）；c₁+c_n-2=2²（a₁+a_n）；d₁+d_n-3=2³（a₁+a_n），如此可得规律，即可得到结论；
法二：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2010行公差为2²⁰⁰⁹，第2011行只有M，得出M；
法三：从第一行为1，2，3 和1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，结合选项归纳得出结果，猜测出M．
解答：解：法一：设倒数第一，二，三，四行的数列分别为{a_n}，{b_n}，{c_n}，{d_n}，则有
b₁+b_n-1=（a₁+a₂）+（a_n-1+a_n）=2（a₁+a_n）；c₁+c_n-2=（b₁+b₂）+（b_n-2+b_n-1）=2²（a₁+a_n）；
d₁+d_n-3=（c₁+c₂）+（c_n-3+c_n-2）=2³（a₁+a_n），
如此规律下去，当n=2013时，第2行的首尾两数之和为2²⁰¹¹（a₁+a_n）=2014×2²⁰¹¹，即M=2014×2²⁰¹¹．
故选D
法二：最后一行公差为1；倒数第二行公差为2；…；第2行公差为2²⁰¹¹，第1行只有M，发现规律，得M=（1+2013）×2²⁰¹¹=2014×2²⁰¹¹．
故选D
法三：从最后一行为1，2，3 及1，2，3，4，5的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为（3+1）×2¹及（5+1）×2³，猜一般为（n+1）×2^n-2．
当n=2013时，“金字数”M=2014×2²⁰¹¹．
故选D．
点评：本题考查了由数表探究数列规律的问题，解答这类问题时，可以由简单的例子观察分析，总结规律，得出结论．