Question

15．已知数列{a_n}的各项都为自然数，前n项和为S_n，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有S_n=（1+λ）a_n-λ恒成立．
（1）求λ值，使得数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有$\underset{\stackrel{i}{∑}}{i=k}$a_i=2016，求k．

Answer 1

分析 （1）当λ≠0时，推导出a₁=1，${a}_{n}=（1+\frac{1}{λ}）{a}_{n-1}$，从而{a_n}不可能是等差数列；当λ=0时，推导出数列{a_n}为等差数列，数列{a_n}的通项公式为a_n=0．
（2）由λ=0，λ=-1，λ≠0，且λ≠-1分类讨论得到仅有λ=1，q=2时，满足题意，且${a}_{n}={2}^{n-1}$，由此能求出仅存在k=6时，j=11，$\sum_{i=k}^{j}{a}_{i}$=2016．

解答 解：（1）①当λ≠0时，a₁=S₁=（1+λ）a₁-λ，
解得a₁=1，
a_n=S_n-S_n-1=（1+λ）（a_n-a_n-1），
解得${a}_{n}=（1+\frac{1}{λ}）{a}_{n-1}$，
∵1+$\frac{1}{λ}$≠1，∴λ≠0时，{a_n}不可能是等差数列．
②当λ=0时，a_n=S_n-S_n-1=a_n=a_n-a_n-1，n≥2，
解得a_n-1=0，
∴λ=0时，数列{a_n}为等差数列，数列{a_n}的通项公式为a_n=0．
综上：λ=0使得数列{a_n}为等差数列，数列{a_n}的通项公式为a_n=0．
（2）由（1）得当λ=0时，不是等比数列，
当λ=-1时，由①得S_n=1，则a₁=S₁=1，
a_n=S_n-S_n-1=0，（n≥2），不是等比数列，
当λ≠0，且λ≠-1时，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{λ}$，{a_n}为公比是q=1+$\frac{1}{λ}$的等比数列，
又对任意n，a_n∈N，则q=1+$\frac{1}{λ}$∈N，
∴仅有λ=1，q=2时，满足题意，又由（1）得a₁=1，
故${a}_{n}={2}^{n-1}$，
∵$\sum_{i=k}^{j}{a}_{i}$=$\frac{{2}^{k-1}（{2}^{j-k+1}-1）}{2-1}$=2016，
∴2^k-1（2^j-k+1-1）=2016=2⁵•3²•7，
j-k+1≥2，2^j-k+1-1为大于1的奇数，
2^k-1=2⁵，k=6，
则2^j-5-1=3²•7，2^j-5=64，j=11，
故仅存在k=6时，j=11，$\sum_{i=k}^{j}{a}_{i}$=2016．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、极限知识的合理运用．