分析 (1)当λ≠0时,推导出a1=1,${a}_{n}=(1+\frac{1}{λ}){a}_{n-1}$,从而{an}不可能是等差数列;当λ=0时,推导出数列{an}为等差数列,数列{an}的通项公式为an=0.
(2)由λ=0,λ=-1,λ≠0,且λ≠-1分类讨论得到仅有λ=1,q=2时,满足题意,且${a}_{n}={2}^{n-1}$,由此能求出仅存在k=6时,j=11,$\sum_{i=k}^{j}{a}_{i}$=2016.
解答 解:(1)①当λ≠0时,a1=S1=(1+λ)a1-λ,
解得a1=1,
an=Sn-Sn-1=(1+λ)(an-an-1),
解得${a}_{n}=(1+\frac{1}{λ}){a}_{n-1}$,
∵1+$\frac{1}{λ}$≠1,∴λ≠0时,{an}不可能是等差数列.
②当λ=0时,an=Sn-Sn-1=an=an-an-1,n≥2,
解得an-1=0,
∴λ=0时,数列{an}为等差数列,数列{an}的通项公式为an=0.
综上:λ=0使得数列{an}为等差数列,数列{an}的通项公式为an=0.
(2)由(1)得当λ=0时,不是等比数列,
当λ=-1时,由①得Sn=1,则a1=S1=1,
an=Sn-Sn-1=0,(n≥2),不是等比数列,
当λ≠0,且λ≠-1时,得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{λ}$,{an}为公比是q=1+$\frac{1}{λ}$的等比数列,
又对任意n,an∈N,则q=1+$\frac{1}{λ}$∈N,
∴仅有λ=1,q=2时,满足题意,又由(1)得a1=1,
故${a}_{n}={2}^{n-1}$,
∵$\sum_{i=k}^{j}{a}_{i}$=$\frac{{2}^{k-1}({2}^{j-k+1}-1)}{2-1}$=2016,
∴2k-1(2j-k+1-1)=2016=25•32•7,
j-k+1≥2,2j-k+1-1为大于1的奇数,
2k-1=25,k=6,
则2j-5-1=32•7,2j-5=64,j=11,
故仅存在k=6时,j=11,$\sum_{i=k}^{j}{a}_{i}$=2016.
点评 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质、极限知识的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
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A. | 函数f(x)的最小正周期为2π | |
B. | 函数f(x)的图象关于点($\frac{7π}{12}$,0)d对称 | |
C. | 函数f(x)的图象关于直线x=-$\frac{7π}{12}$对称 | |
D. | 函数f(x)在[$\frac{3π}{4}$,π]上单调递增 |
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