Question

已知x，y∈R．
（I）若x＞0，y＞0且

1

x

+

4

y

=1，求x+y的最小值；
（II）若f(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

，求不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集．

Answer 1

分析：（I）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出x+y的最小值；
（II）确定f(x+2)=

1，x≥-2 -1，x＜-2

，再分类讨论，即可得到结论．

解答：解：（I）因为

1

x

+

4

y

=1，所以x+y=(x+y)(

1

x

+

4

y

)=5+

y

x

+

4x

y

又因为x＞0，y＞0，所以

y

x

+

4x

y

≥2

y x • 4x y

=4
当且仅当

y

x

=

4x

y

，即y=2x，即x=3，y=6时，等号成立
所以当x=3，y=6时，x+y取最小值9（5分）
（II）因为f(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

，所以f(x+2)=

1，x≥-2 -1，x＜-2

当x≥-2时，不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5转化为x+（x+2）•1≤5解得-2≤x≤

3

2

当x＜-2时，不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5转化为x+（x+2）•（-1）≤5解得x＜-2
综上不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集为{x|x≤

3

2

}（11分）

点评：本题考查基本不等式的运用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．