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已知某企业的原有产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:(万元).现准备开发一个回报率高,科技含量高的新产品从“十一五”计划(此计划历时5年)的第一年开始,用两年的时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发,从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入.经预测,新产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:(万元).
(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1000万元,年利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元?
(2)从新产品投入生产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使后三年的年利润最大?
(3)从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来,能否还清对银行的欠款?
【答案】分析:(1)由于年利率为5.5%,且不计复利,故可求所还利息,从而可求第五年底一次性向银行偿还的本息;
(2)设从第三年起每年旧产品投入x万元,新产品投入100-x万元,则旧产品投入的年利润为,新产品投入的年利润为
从而可表达每年的年利润;
(3)因为P(x)在(0,30)上为增函数,所以可计算前两年利润、后三年利润,进而可以解决问题.
解答:解:(1)1000+1000×5.5%×5=1275(万元)--(5分)
(2)设从第三年起每年旧产品投入x万元,新产品投入100-x万元,--(7分)
则每年的年利润
=-(x-27)2+659.--(10分)
所以投入旧产品27万元,投入新产品73万元时,每年可获最大利润659万元.--(12分)
(3)因为P(x)在(0,30)上为增函数,
所以前两年利润为y1=2P(20)=20(万元)
后三年利润y2=3[P(27)+Q(73)]=3×659=1977(万元)--(15分)
由(20+1977)×70%=1397.9>1275,故能还清对银行的欠款.--(17分)
点评:本题的考点是函数模型的选择与应用,主要考查函数模型的建立,同时利用函数模型解决实际问题,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知某企业的原有产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:P(x)=-
1
10
(x-30)2+20
(万元).现准备开发一个回报率高,科技含量高的新产品从“十一五”计划(此计划历时5年)的第一年开始,用两年的时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发,从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入.经预测,新产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:Q(x)=-
9
10
(100-x)2+48(100-x)
(万元).
(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1000万元,年利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元?
(2)从新产品投入生产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使后三年的年利润最大?
(3)从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来,能否还清对银行的欠款?

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知某企业的原有产品,每年投入x万元,可获得的年利润可表示为函数:P(x)=-·(x-30)2+8(万元).现开发一个回报率高、科技含量高的新产品,据预测,新产品每年投入x万元,可获得年利润Q(x)=-(100-x)2+(100-x)(万元).新产品开发从“十五”计划的第一年开始,用两年时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中,拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.

(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1 000万元,利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元?

(2)从新产品投产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使年利润最大?

(3)从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来,能否还清对银行的欠款?

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知某企业的原有产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:数学公式(万元).现准备开发一个回报率高,科技含量高的新产品从“十一五”计划(此计划历时5年)的第一年开始,用两年的时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发,从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入.经预测,新产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:数学公式(万元).
(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1000万元,年利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元?
(2)从新产品投入生产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使后三年的年利润最大?
(3)从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来,能否还清对银行的欠款?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知某企业的原有产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:P(x)=-
1
10
(x-30)2+20
(万元).现准备开发一个回报率高,科技含量高的新产品从“十一五”计划(此计划历时5年)的第一年开始,用两年的时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发,从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入.经预测,新产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:Q(x)=-
9
10
(100-x)2+48(100-x)
(万元).
(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1000万元,年利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元?
(2)从新产品投入生产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使后三年的年利润最大?
(3)从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来,能否还清对银行的欠款?

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