Question

（2010•潍坊三模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N，Sn=n2+

1

2

an．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=λqan+λ（λ，q为常数，q＞0且q≠1），c_n=（b₁+b₂+…+b_n）+n+3，当数列{c_n}为等比数列时，求实数对（λ，q）的值；
（3）若不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)

an+1

＜a-

3

2a

对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意令n=1，得a1=1+

1

2

a1，a₁=2．令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，a₂=4．令n=3，得a1+a2 +a3=9+

1

2

a3，a₃=6．由此猜想：a_n=2n．然后再用数学归纳法证明．
（2）由b_n=λq²ⁿ+λ，知Cn=λn+

λq2(1-q2n)

1-q2

+n+3=3+

λq2

1-q2

-

λq2n+2

1-q2

+(λ+1)n，由此知cn=3•(

3

4

)n为等比数列，从而求出实数对（λ，q）的值．
（3）设g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）…（1-

1

an

）•

2n+1

，由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1．所以g（n+1）＜g（n），由此能够求出a的取值范围．

解答：解：（1）由题意Sn=n2+

1

2

an．
令n=1，得a1=1+

1

2

a1，
∴a₁=2．
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，∴a₂=4．
令n=3，得a1+a2 +a3=9+

1

2

a3，∴a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
由数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由上面的求解知a₁=2，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，猜想成立，
则当n=k+1时，注意到Sn=n2+

1

2

an，n∈N^*，
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，
Sk=n2+

1

2

an(n∈N*)，
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，
Sk=k2+

1

2

ak，
两式相减，得ak+1=2k+1+

1

2

ak+1-

1

2

ak，
∴a_k+1=4k+2-a_k，
由假设a_k=2k，
故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1），
∴n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N^*，a_n=2n成立．
（2）依题意，b_n=λq²ⁿ+λ，
∴Cn=λn+

λq2(1-q2n)

1-q2

+n+3
=3+

λq2

1-q2

-

λq2n+2

1-q2

+(λ+1)n，
令

λ+1=0 3+ λq2 1-q2 =0

，

λ=-1 q=± 3 2

．
此时，cn=3•(

3

4

)n为等比数列，
故所求的实数对为（-1，±

3

2

）．
（3）设g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）…（1-

1

an

）•

2n+1

，
由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1．
所以g（n+1）＜g（n），
故g（n）_max=g（1）=

3

2

．
令

3

2

＜a-

3

2a

，
即

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞ 0，
解得-

3

2

＜a＜0，或a＞

3

．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，综合性强，难度较大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．