某选修课的考试按A级、B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为
，B级考试合格的概率为
．假设各级考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为
，求的数学期望E．
（1）
，（2）
.
解析试题分析：（1）解概率问题，关键明确事件所包含的意义. 不需要补考就获得合格证书的事件为A级第一次考试合格且B级第一次考试合格，因为事件相互独立，所以由概率乘法得
（2）参加考试的次数至少2次，至多4次，因此＝2，3，4，因为不放弃所有的考试机会，所以＝2包含①A级第一次考试合格且B级第一次考试合格，②A级第一次考试不合格且A级补考不合格。＝4包含A级第一次考试不合格且A级补考合格， B级第一次考试不合格，B级补考合格或不合格. ＝3包含事件较多，可利用
求解，最后再利用数学期望公式求E.
试题解析：设“A级第一次考试合格”为事件
，“A级补考合格”为事件A2； “B级第一次考试合格”为事件
，“B级补考合格”为事件
．
（1）不需要补考就获得合格证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立，
则
答：该考生不需要补考就获得合格证书的概率为 4
（2）由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
.6
.8
.10
故
答：该考生参加考试次数的期望为 .13
考点：古典概型概率，分布列及数学期望
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.
（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；
（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
A高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为
，每道程序中得优、良、中的概率分别为p1、
、p2.
(1)求学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率；
(2)设X为学生甲在三道程序中获优的次数，求X的概率分布及数学期望．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．
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