Question

19．函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围求出sin（x+$\frac{π}{3}$）的取值范围即可．

解答 解：∵f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{3}$），
且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
∴f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与三角函数图象与性质的应用问题，是基础题目．