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中心在原点O、焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A,B两点,C是AB的中点,若以AB为直径的圆过圆点,且OC的斜率为
1
2
,求椭圆的方程.
考点:椭圆的标准方程
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:设椭圆的方程为ax2+by2=1(a>0,b>0),联立直线与圆的方程
x+y-1=0
ax2+by2=1
,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,由已知得a+b=2,
a
b
=
1
2
,由此能求出椭圆的方程.
解答: 解:设椭圆的方程为ax2+by2=1(a>0,b>0),
联立直线与圆的方程
x+y-1=0
ax2+by2=1
,消去y,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),
x1+x2=
2b
a+b
x1x2=
b-1
a+b

∵以AB为直径的圆过圆点,∴x1x2+y1y2=0,
又y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2
∴1-(x1+x2)+2x1x2=0,
代入,得1-
2b
a+b
+2×
b-1
a+b
=0

化简,得a+b=2,①
x0=
x1+x2
2
=
b
a+b
y0=1-x0=
a
a+b

又OC的斜率为
1
2

x0=
x1+x2
2
=
b
a+b
y0=1-x0=
a
a+b

又OC的斜率为
1
2

a
b
=
1
2
,②
解①②,得a=
2
3
,b=
4
3
,椭圆的方程是
2
3
x2+
4
3
y2=1
点评:本题考查椭圆方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上
(1)求圆C的标准方程;
(2)求直线l:15x+8y=0被圆C截得的弦长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

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海里.

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一个简单多面体的面数为12,顶点数为20,则这个多面体的棱数是
 

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2014年8月以“分享青春,共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行,为此某商店经销一种青奥会纪念徽章,每枚徽章的成本为30元,并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元(a为常数,2≤a≤5).设每枚徽章的售价为x元(35≤a≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时,日销售量为10枚.
(1)求该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x的函数关系式;
(2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=2sin(ω x-
π
6
)+
1
2
(ω>0)的最小正周期π
(1)求ω的值
(2)求函数f(x)的对称中心和单调增区间
(3)求函数f(x)在区间[0,
3
]上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx-sin2x
(1)求f(
π
6
)的值
(2)求函数的单调增区间
(3)若x∈[-
π
6
π
3
],求函数的值域.

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当x∈(0,
π
3
)时,y=sin(3x-
π
6
)的取值范围是(  )
A、(-
1
2
1
2
B、[-
1
2
,1]
C、(-
1
2
,1)
D、(-
1
2
,1]

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科目:高中数学 来源: 题型:

点O为△ABC中任意一点,且有
OA
+2
OB
=λ
CO
,S△AOC:S△ABC=2:11,求λ的值.

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