Question

已知正△ABC的边长为, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.                    
（1）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
（2）若棱锥E-DFC的体积为,求的值;
（3）在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）平行； （2）； （3）存在AP：AC=1：3

试题分析：（1）由于E、F分别是AC和BC边的中点，所以在翻折后的三角形ABC中，.由线面平行的判定定理可得结论.
（2）由棱锥E-DFC的体积为，因为△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，并且平面BCD，即由三棱锥的体积公式，即可求出结论.
（3）在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF,即转化为直线与平面垂直的问题，假设存在点P作,k为垂足，连结BK即可得到直线DF 平面BPK，所以可得.通过三角形的相似即可得到所求的结论.
(1)AB//平面DEF,
如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,
又AB平面DEF,∴AB//平面DEF,   4分
(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2
,a="2."   8分
(3)存在满足条件的点P.
做法：因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.
证明：∵AD⊥平面BCD , KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.
故AP：OC=1：2,AP：AC=1：3    12分