Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，曲线C₂的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐标方程，它表示什么曲线？
（Ⅱ）求C₂上的点到C₁的最小距离．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由曲线C₁的极坐标方程ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，展开为ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=2

2

，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；
（II）由曲线C₂的参数方程

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）可得x²+y²=1．求出圆心O到直线的距离d．则C₂上的点到C₁的最小距离=d-r．

解答： 解：（I）由曲线C₁的极坐标方程ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，展开为ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=2

2

，
化为x+y-4=0，表示直线．
（II）由曲线C₂的参数方程

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）可得x²+y²=1．圆心O（0，0），半径r=1．
∴圆心O到直线的距离d=

4

2

=2

2

．
∴C₂上的点到C₁的最小距离=d-r=2

2

-1．

点评：本题考查了极坐标方程与参数方程化为普通方程，考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．