Question

11．如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax²+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．
（1）求函数为曲线段OABC的函数y=f（x），x∈[0，10]的解析式；
（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？

Answer 1

分析 （1）曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），可得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 16a+4b+c=4\\-\frac{b}{2a}=4\end{array}\right.$，求出a，b，c，可得x∈[0，6]时的解析式；后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），可得x∈[6，10]时的解析式；
（2）求出绿化带的总长度，可得二次函数，即可得出结论．

解答 解：（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），
所以$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 16a+4b+c=4\\-\frac{b}{2a}=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=2\\ c=0\end{array}\right.$
所以，当x∈[0，6]时，$y=-\frac{1}{4}{x^2}+2x$…（3分）
因为后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），当x∈[6，10]时，$y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$…（6分）
综上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}{x^2}+2x，x∈[0，6]\\-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}，x∈（6，10]\end{array}\right.$…（8分）
（2）设OM=t（0＜t≤2），则$MQ=-\frac{1}{4}{t^2}+2t，PN=-\frac{1}{4}{t^2}+2t$
由$PN=-\frac{1}{4}{t^2}+2t=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$，得$x=\frac{1}{3}{t^2}-\frac{8}{3}t+10$，
所以点$N（\frac{1}{3}{t^2}-\frac{8}{3}t+10，0）$        …（11分）
所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=$2（-\frac{1}{4}{t^2}+2t）+（\frac{1}{3}{t^2}-\frac{11}{3}t+10）=-\frac{1}{6}{t^2}+\frac{1}{3}t+10$…（13分）
当t=1时，${y_{max}}=\frac{61}{6}$
所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长    …（16分）

点评 本题考查函数解析式的确定，考查学生利益数学知识解决实际问题，属于中档题．