Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 =
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化简已知等式得： = ，

整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣ ，

∵C为三角形内角，

∴C=

（2）解：∵c=2，cosC=﹣ ，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤ ，（当且仅当a=b时成立），

∵S= absinC= ab≤ ，

∴当a=b时，△ABC面积最大为 ，此时a=b= ，

则当a=b= 时，△ABC的面积最大为

【解析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．