Question

数列{a_n}中a₁=1，且an+1=an+

1

n(n+1)

①写出数列的前5项；
②归纳出数列的通项公式；
③用数学归纳法证明归纳出的结论．

Answer 1

分析：①由a₁=1，且a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

即可写出数列的前5项；
②由①即可归纳出数列的通项公式；
③（1）当n=1时，a₁=1，等式成立；（2）假设n=k时，a_k=

2k-1

k

，去证明当n=k+1时，a_k+1=

2(k+1)-1

k+1

即可．

解答：解：①∵a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，
∴a₂=1+

1

2

=

3

2

；
a₃=a₂+

1

2×3

=

3

2

+

1

2×3

=

10

6

=

5

3

；
a₄=a₃+

1

3×4

=

5

3

+

1

3×4

=

7

4

；
a₅=a₄+

1

4×5

=

7

4

+

1

4×5

=

9

5

；
②由①归纳知，a_n=

2n-1

n

；
③证明：（1）当n=1时，a₁=1，等式成立；
（2）假设n=k时，a_k=

2k-1

k

，
则当n=k+1时，
a_k+1=a_k+

1

k(k+1)

=

2k-1

k

+

1

k(k+1)

=

1

k

（2k-1+

1

k+1

）
=

1

k

•

(2k-1)(k+1)+1

k+1

=

1

k

•

k(2k+1)

k+1

=

2k+1

k+1

=

2(k+1)-1

k+1

．
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意n∈N^*，a_n=

2n-1

n

均成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查数列递推式，着重考查归纳与推理证明的能力，属于中档题．