Question

已知曲线f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求曲线在点P（1，-2）处的切线方程；
（Ⅱ）求过点Q（2，-6）的曲线y=f（x）的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求曲线f（x）=x³-3x在点P（1，-2）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率；
（Ⅱ）设过点Q的切线与曲线y=f（x）相切于点R，然后根据曲线y=f（x）在点R处切线斜率建立等式，求出切点坐标，从而可求出切线方程．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-3…（2分）
则f'（1）=3×1²-3=0…（3分）
故曲线在点P处的切线方程为y+2=0×（x-1），即y=-2…（4分）
（Ⅱ）设过点Q的切线与曲线y=f（x）相切于点R(x0，

x

3 0

-3x0)…（5分）
由于曲线y=f（x）在点R处切线斜率为f′(x0)=3

x

2 0

-3
由斜率公式可得

x 3 0 -3x0-(-6)

x0-2

=3

x

2 0

-3…（7分）
整理可得x₀=0或x₀=3…（9分）
故切点R分别为（0，0）和（3，18）…（10分）
所以过点Q的切线方程有两条：y=-3x和y=24x-54…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．