Question

甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：
①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竟猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．
（I）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；
（Ⅱ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

解：（I）由题意基本事件的总数为个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，若|a-b|=0，则共有6种竞猜成功；若|a-b|=1，a=1，2，3，4时，b分别有2个值，而a=0或5时，b只有一种取值．利用古典概型的概率计算公式即可得出P（A）=．
设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，
则甲乙两人获奖的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1--=．
（II）由题意可知：从6人中选取4人共有种选法，双胞胎的对数X的取值为0，1，2．
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．
随机变量X的分布列为
期望为E（X）=．
分析：（I）由题意基本事件的总数为个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，分|a-b|=0和|a-b|=1．利用古典概型的概率计算公式即可得出P（A）=．设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则ξ～B．则甲乙两人获奖的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）．
（II）由题意可知：从6人中选取4人共有种选法，双胞胎的对数X的取值为0，1，2．X=0，表示的是分别从2对双胞胎中各自选取一个，再把不是双胞胎的2人都取来；X=1，表示的是从2对双胞胎中选取一对，另外2人的选取由两种方法，一种是把不是双胞胎的2人都选来，另一种是从另一双胞胎中选一个，从不是双胞胎的2人中选一个；X=2，表示的是把2对双胞胎2人都选来．据此即可得出X的分布列和EX．
点评：正确分类和熟练掌握古典概型的概率计算公式、二项分布、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．