Question

一条直线l过点P(1,4),且分别交x轴、y轴正半轴于点A、B.求:

(1)它在两轴的截距之和OA+OB最小时的直线l的方程;

(2)它与两坐标轴所围成的Rt△AOB的面积最小时直线l的方程.

Answer 1

解：设直线方程为+=1(a＞1).

∵过点P(1,4),则+=1.

(1)OA+OB=a+b=(a+b)(+)

=5++a

≥5+2=9.

当且仅当=a时取最小值.

此时得a=3,b=6.

∴直线方程为+=1,即2x+y-6=0.

(2)S_△AOB=ab,

∵+=1≥2,

又∵ab≥16,

∴S_△AOB=ab≥8.

当且仅当==即a=2,b=8时,S_△AOB最小,此时直线方程为+=1,即4x+y-8=0.