Question

12．已知$\overrightarrow a=（\frac{x^2}{3}，x），\overrightarrow b=（x，x-3）$，x∈[-4，4]，$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求f（x） 的解析式．
（2）求f（x）的最小值，并求此时$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角大小．

Answer 1

分析 （1）将$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$代入函数的表达式，整理即可；
（2）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值，求出x的值，代入夹角公式，求出角的大小即可．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3$，
（2）f′（x）=x²+2x-3，令f′（x）=0，得x=-3或x=1，列表如下：

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		正	0	负	0	正
f（x）	$\frac{20}{3}$	单调增	9	单调减	$-\frac{5}{3}$	单调增	$\frac{26}{3}$

所以函数f（x）的最小值为$-\frac{5}{3}$，此时x=1，
∴$\overrightarrow a=（\frac{1}{3}，1），\overrightarrow b=（1，-2）$，$|\overrightarrow a|=\frac{{\sqrt{10}}}{3}，|\overrightarrow b|=\sqrt{5}$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{，_{\;}}∴θ=\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积的运算，考查函数的单调性、最值问题，考查夹角公式，是一道中档题．