【答案】
分析:(1)由数列a
n满足a
n+1=|a
n-1|(n∈N
*),
,我们分别求出a
2,a
3,a
4的值,分析变化的周期性规则,即可得到a
n的表达式;
(2)我们分a
n≥1时,0<a
1<1时,a
1=b≥1时和a
1=c<0时,几种情况,分别进行讨论,最后将讨论结论综合,即可得到结论;
(3)当a
1=a∈(k,k+1)(k∈N
*)时,易知a
2=a-1,a
3=a-2,…,a
k=a-(k-1),利用拆项法,即可得到答案.
解答:解:(1)
,
∴
时,
,其中k∈N
*(2)因为存在
,
所以当a
n≥1时,a
n+1≠a
n①若0<a
1<1,则a
2=1-a
1,a
3=1-a
2=a
1,此时只需:a
2=1-a
1=a
1,∴
故存在
②若a
1=b≥1,不妨设b∈[m,m+1),m∈N
*,易知a
m+1=b-m∈[0,1),
∴a
m+2=1-a
m+1=1-(b-m)=a
m+1=b-m
∴
,∴
时,
③若a
1=c<0,不妨设c∈(-l,-l+1),l∈N
*,易知a
2=-c+1∈(l,l+1],
∴a
3=a
2-1=-c,,a
l+2=-c-(l-1)∈(0,1]
∴
,∴
,则
故存在三组a
1和n
:
时,n
=1;
时,n
=m+1;
时,n
=m+2其中m∈N
*(3)当a
1=a∈(k,k+1)(k∈N
*)时,
易知a
2=a-1,a
3=a-2,,a
k=a-(k-1),
a
k+1=a-k∈(0,1)a
k+2=1-a
k+1=k+1-a,
a
k+3=1-a
k+2=a-k,a
k+4=1-a
k+3=k+1-a,
a
3k-1=a-k,a
3k=k+1-a
∴S
3k=a
1+a
2++a
k+a
k+1+a
k+2+a
k+3+a
k+4++a
3k-1+a
3k=a+(a-1)+(a-2)++a-(k-1)+k
点评:本题考查的知识点是数列递推公式及数列求和,其中正确理解数列的递推公式,并能准确的对a进行分类讨论,是解答本题的关键.