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已知数列an满足an+1=|an-1|(n∈N*),(1)若,求an
(2)是否存在a1,n(a1∈R,n∈N*),使当n≥n(n∈N*)时,an恒为常数.若存在求a1,n,否则说明理由;
(3)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求an的前3k项的和S3k(用k,a表示)
【答案】分析:(1)由数列an满足an+1=|an-1|(n∈N*),,我们分别求出a2,a3,a4的值,分析变化的周期性规则,即可得到an的表达式;
(2)我们分an≥1时,0<a1<1时,a1=b≥1时和a1=c<0时,几种情况,分别进行讨论,最后将讨论结论综合,即可得到结论;
(3)当a1=a∈(k,k+1)(k∈N*)时,易知a2=a-1,a3=a-2,…,ak=a-(k-1),利用拆项法,即可得到答案.
解答:解:(1)
时,
,其中k∈N*
(2)因为存在
所以当an≥1时,an+1≠an
①若0<a1<1,则a2=1-a1,a3=1-a2=a1,此时只需:a2=1-a1=a1,∴
故存在
②若a1=b≥1,不妨设b∈[m,m+1),m∈N*,易知am+1=b-m∈[0,1),
∴am+2=1-am+1=1-(b-m)=am+1=b-m
,∴时,
③若a1=c<0,不妨设c∈(-l,-l+1),l∈N*,易知a2=-c+1∈(l,l+1],
∴a3=a2-1=-c,,al+2=-c-(l-1)∈(0,1]
,∴,则
故存在三组a1和n时,n=1;时,n=m+1;时,n=m+2其中m∈N*
(3)当a1=a∈(k,k+1)(k∈N*)时,
易知a2=a-1,a3=a-2,,ak=a-(k-1),
ak+1=a-k∈(0,1)ak+2=1-ak+1=k+1-a,
ak+3=1-ak+2=a-k,ak+4=1-ak+3=k+1-a,
a3k-1=a-k,a3k=k+1-a
∴S3k=a1+a2++ak+ak+1+ak+2+ak+3+ak+4++a3k-1+a3k=a+(a-1)+(a-2)++a-(k-1)+k
点评:本题考查的知识点是数列递推公式及数列求和,其中正确理解数列的递推公式,并能准确的对a进行分类讨论,是解答本题的关键.
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