Question

已知0＜x＜

π

2

＜y＜π且sin（x+y）=

5

13

（Ⅰ）若tg

x

2

=

1

2

，分别求cosx及cosy的值；
（Ⅱ）试比较siny与sin（x+y）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据x的范围得到

x

2

的范围，由tan

x

2

的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos

x

2

的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系求出sin

x

2

的值，利用二倍角的正弦、余弦函数公式，由sin

x

2

和cos

x

2

的值及x的范围，即可求出sinx和cosx的值，再根据x与y的范围得到x+y的范围，由sin（x+y）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（x+y）的值，然后把y变为（x+y）-x，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由x与y的范围求出x+y的范围及x+y大于y，然后根据正弦函数在x+y的范围中为减函数，利用正弦函数的单调性即可得到siny大于sin（x+y）．

解答：解：（Ⅰ）∵0＜x＜

π

2

＜y＜π，tan

x

2

=

1

2

，且0＜

x

2

＜

π

4

，
∴cos

x

2

=

2

5

，sin

x

2

=

1

5

，
则cosx=2cos²

x

2

-1=

3

5

，sinx=

4

5

，
又sin（x+y）=

5

13

，

π

2

＜x+y＜

3π

2

，
∴cos（x+y）=-

12

13

，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=-

12

13

•

3

5

+

5

13

•

4

5

=-

16

65

；

（Ⅱ）∵0＜x＜

π

2

＜y＜π，
∴

π

2

＜x+y＜

3π

2

，

π

2

＜y＜x+y＜

3π

2

，
又y=sinx在[

π

2

，

3π

2

]上为减函数，
∴siny＞sin（x+y）．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．