Question

20．已知数列{a_n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₃（a_n•a_n+1）（n∈N^*），求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}公比为q＞1，由a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差数列．可得$2×\frac{5}{3}$a₄=a₃+a₅，化为：3q²-10q+3=0，解得q即可得出．
（2）b_n=log₃（a_n•a_n+1）=$lo{g}_{3}（{3}^{n-1}•{3}^{n}）$=2n-1，可得a_nb_n=（2n-1）•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}公比为q＞1，∵a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差数列．
∴$2×\frac{5}{3}$a₄=a₃+a₅，化为：3q²-10q+3=0，解得q=3．∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=log₃（a_n•a_n+1）=$lo{g}_{3}（{3}^{n-1}•{3}^{n}）$=2n-1，
∴a_nb_n=（2n-1）•3^n-1．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1．
3S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2，
∴S_n=1+（n-1）•3ⁿ．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．