Question

14．曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂：ρ=2cosθ与极轴交于O，D两点．
（I）分别写出曲线C₁的极坐标方程及点D的极坐标；
（Ⅱ）射线l：θ=β（ρ＞0，0＜β＜π）与曲线C₁，C₂分别交于点A，B，已知△ABD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求β．

Answer 1

分析 （I）直接利用参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可，求解D点极坐标时，可以先落实曲线C₂的方程，然后确定点D的直角坐标，然后，确定其极坐标即可．
（Ⅱ）不妨设A（ρ₁，β），B（ρ₂，β），从而得到|AB|=|ρ₁-ρ₂|=ρ₂=2cosβ，然后确定β=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

解答 解：（I）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴（x-2）²+y²=4，
∴x²+y²-4x=0
∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲线C₁的极坐标方程ρ²=4ρcosθ，
∵曲线C₂：ρ=2cosθ与极轴交于O，D两点．
∴曲线C₂的直角坐标方程为：x²+y²-2x=0，
令y=0，得到x=0或x=2，
∴O（0，0），D（2，0）
∴点D的极坐标（2，0），
（Ⅱ）不妨设A（ρ₁，β），B（ρ₂，β），
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=ρ₂=2cosβ，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB||OD|sinβ=sin2β=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴β=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

点评 本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、普通方程和极坐标方程的互化等知识，属于中档题．