A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{2}{7}$ | C. | $\frac{3}{7}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
分析 根据正三棱锥ABCD中,侧棱长相等,各侧棱所成的角相等,结合$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{BF}$=0,利用向量的线性表示,即可求出∠BAC的余弦值.
解答 解:正三棱锥ABCD中,设∠BAC=θ,且侧棱长相等;
∵AE:EB=AF:FD=1:2,
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$;
又$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{BF}$=0,
∴($\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AE}$)•($\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$)=0,
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0,
∴|$\overrightarrow{CA}$|×|$\overrightarrow{BA}$|cosθ+|$\overrightarrow{CA}$|×$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|cos(π-θ)-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{BA}$|+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|×$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|cosθ=0,
解得cosθ=$\frac{3}{7}$,
即∠BAC的余弦值为$\frac{3}{7}$.
故选:C.
点评 本题考查了空间向量的线性表示与数量积的运算问题,也考查了数形结合的应用问题,是基础题目.
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A. | 2014 | B. | 2015 | C. | -2014 | D. | -2015 |
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A. | 120 | B. | 80 | C. | 60 | D. | 50 |
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