Question

如图，点A是△BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）若EF=

2

2

AD，求异面直线AD与BC所成的角；
（2）若EF=

3

2

AD，求异面直线AD与BC所成的角．

Answer 1

分析：设G是AC的中点，连结EG、FG，则EG与FG所成的锐角（或直角）为AD与BC所成的角，利用余弦定理，结合异面直线所成角的范围，即可得到结论．

解答：解：设G是AC的中点，连结EG、FG．如图所示．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EG∥BC且EG=

1

2

BC，FG∥AD且FG=

1

2

AD．
∵AD=BC，
∴EG=FG=

1

2

AD，
∴EG与FG所成的锐角（或直角）为AD与BC所成的角．
（1）若EF=

2

2

AD，则在△EFG中有cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

( 1 2 AD)2+( 1 2 AD)2-( 2 2 AD)2

2•( 1 2 AD)•( 1 2 AD)

=0，
∴∠EGF=90°，即AD与BC所成的角为90°．
（2）若EF=

3

2

AD，则在△EFG中有cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

( 1 2 AD)2+( 1 2 AD)2-( 3 2 AD)2

2•( 1 2 AD)•( 1 2 AD)

=-

1

2

，
∴∠EGF=120°，其补角为60°，
即AD与BC所成的角为60°．

点评：本题考查异面直线所成角，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．