Question

已知函数，.
（1）求的极值点；
（2）对任意的，记在上的最小值为，求的最小值.

Answer 1

（1）是极大值点，是极小值点；（2）.

试题分析：（1）利用导数求出函数的两个极值点，并结合导数符号确定相应的极大值点与极小值点；（2）在（1）的基础上，对与极小值的大小作分类讨论，结合图象确定的表达式，然后再根据的表达式确定相应的最小值.
试题解析：（1），
由解得：，，
当或时，，
当时，
所以，有两个极值点：
是极大值点，；
是极小值点，；
（2）过点作直线，与的图象的另一个交点为，
则，即，
已知有解，则，
解得，
当时，；；
当时，，，
其中当时，；
当时，，；
所以，对任意的，的最小值为（其中当时，）.