Question

16．已知正项等比数列{a_n}满足：a₈-a₇-2a₆=0，若存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₂，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 1

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q：由a₈-a₇-2a₆=0，化为q²-q-2=0，q＞0．解得q．存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₂，化为：m+n=8，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q：∵a₈-a₇-2a₆=0，
∴${a}_{6}{q}^{2}-{a}_{6}q-2{a}_{6}$=0，
化为q²-q-2=0，q＞0．
解得q=2，
∵存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₂，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a₁q，q=2．
化为：m+n=8，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{9}{n}）$=$\frac{1}{8}$$（10+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}）$≥$\frac{1}{8}$（10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为2．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．