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设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈(0,1]时,f(x)=2tx-4x3(t为常数)
(1)求f(x)的表达式;
(2)当0<t≤6时,用定义证明f(x)在[-
6t
6
6t
6
]
上单调递增;
(3)当t>6时,是否存在t使f(x)的图象的最高点落在直线y=12上.若存在,求出t的值,若不存在,说明理由.
分析:(1)设x∈[-1,0),则-x∈(0,1],适合当x∈(0,1]时,f(x)=2tx-4x3,求得f(-x),再由奇函数求得f(x).
(2)先在[-1,1]上任取两变量,且界定大小,再作差变形看符号;
(3)当t>6时,
6t
6
>1
,由(2)得f(x)在[-1,1]上单调递增,令f(1)=12,从而得出存在t,满足条件.
解答:解:(1)设x∈[-1,0),则-x∈(0,1],
∴f(-x)=-2tx+4x3
∵f(x)为定义在R上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)=2tx-4x3
∴f(x)的表达式为:f(x)=
2tx-4x 3,x∈(0,1]
0.x=0
2tx-4x 3,x∈[-1,0)

(2)解:先设x1、x2[0,
6t
6
]
,令x1<x2,则有x1-x2<0.
f(x1)-f(x2)=2tx1-4x13-(2tx2-4x23
=2t(x1-x2)-4(x13-x23)=(x1-x2)[2t+4(x12+x2x1+x22)]
∵x1、x1[0,
6t
6
]
,x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[0,
6t
6
]
上单调递增.
(3)当t>6时,
6t
6
>1
,由(2)得f(x)在[-1,1]上单调递增,
令f(1)=12,存在t=8,满足条件.
点评:本题综合考查函数奇偶性与函数解析式的求解及常用方法,把要求区间上的问题转化到已知区间上求解,是解题的关键,体现了转化的数学思想方法.属中档题;还考查用单调性定义证明函数的单调性,要注意变量的任意性和变形要到位.
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,2)

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