Question

如图直角梯形OABC位于平面直角坐标系中，其中OC=1，BC=1，OA=2，动点P从C出发沿折线段CBA运动到A（包括端点），设点P的横坐标为x，函数f（x）=

OP

•

PA

．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）出函数y=f（x）的草图，并求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y=f（x）-c有零点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分当点P位于线段BC时，即0≤x≤1，点P（x，1），可得

OP

，

PA

，

OP

•

PA

，即可得出y．
当点P位于BA上时，即1＜x≤2，点P（x，2-x），可得

OP

，

PA

，

OP

•

PA

，即可得出y．进而得到f（x）．
（2）根据图象的画法即可；
（3）先求出f（x）的值域即可．

解答：解：（1）由已知C（0，1），A（2，0）．
当点P位于线段BC时，即0≤x≤1，点P（x，1），∴

OP

=(x，1)，

PA

=(2-x，-1)．
y=

OP

•

PA

=x（2-x）-1=-x²+2x-1．
当点P位于BA上时，即1＜x≤2，点P（x，2-x），则

OP

=(x，2-x)，

PA

=(2-x，x-2)，
y=

OP

•

PA

=x（2-x）+（2-x）（x-2）=-2x²+6x-4．
于是函数f（x）=

-x2+2x-1，(0≤x≤1) -2x2+6x-4，(1＜x≤2)

（2）f（x）的单调区间为[0，

3

2

]．
（3）由函数图象可得f（0）=-1，f(

3

2

)=

1

2

．∴c的取值范围是[-1，

1

2

]．

点评：熟练掌握图象的画法、数量积运算、分段函数的意义、函数的性质等是解题的关键．