Question

已知△ABC满足|

AB

|=3，|

AC

|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足|

AO

|=|

BO

|=|

CO

|，且

AO

=λ

AB

+

1-λ

2

AC

（λ∈R），则cos∠BAC=

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得O是△ABC的外心，设AC的中点为D，由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得BD⊥AC，B、O、D三点共线，由cos∠BAC=

AD

AB

计算求得结果．当λ=0时，AB⊥BC，由cos∠BAC=

AB

AC

，求得cos∠BAC的值，综合可得结论．

解答： 解：由|

AO

|=|

BO

|=|

CO

|，可得O是△ABC的外心．
∵

AO

=λ

AB

+

1-λ

2

AC

（λ∈R），∴

AO

-

AB

=（λ-1）

AB

+

1-λ

2

AC

，
即

BO

=（λ-1）

AB

+

1-λ

2

AC

=（1-λ）

BA

+

1-λ

2

（

BC

-

BA

）=

1-λ

2

（

BA

+

BC

）．
设AC的中点为D，则

BO

=

1-λ

2

•2

BD

=（1-λ）

BD

，即B、O、D三点共线．
由于BD⊥AC，∴cos∠BAC=

AD

AB

=

2

3

．
当λ=0时，

AO

=

1

2

AC

，此时AB⊥BC，cos∠BAC=

AB

AC

=

3

4

，
故答案为：

2

3

或

3

4

．

点评：本题考查了向量的运算法则、两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题．