Question

已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）a＞0，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数的几何意义求切线方程．
（2）利用导数求函数的单调增区间．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax，
因为f′（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f′（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-2=0…（6分）
（2）令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，

2a

3

＞0，
所以由f′（x）＞0，解得x＞

2a

3

，或x＜0，
即f（x）在（-∞，0），(

2

3

a，+∞)上单调递增…（6分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性．