Question

设函数f（x）=（a+1）x-

1

x-2

．
（1）解关于a的不等式f（3）≥2-

a

a+1

；
（2）当a≥-

1

2

时，解关于x的不等式f（x）≥1．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）f（3）≥2-

a

a+1

化为3（a+1）-1≥2-

a

a+1

，解分式不等式即可；
（2）利用分离变量法，把不等式f（x）≥1化为ax≥

1

x-2

+1-x，讨论x的值，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=（a+1）x-

1

x-2

，
∴不等式f（3）≥2-

a

a+1

可化为
3（a+1）-1≥2-

a

a+1

；
即3a+

a

a+1

≥0，
∴

a(3a+4)

a+1

≥0；
解得-

4

3

≤a＜-1，或a≥0，
∴该不等式的解集为[-

4

3

，-1）∪[0，+∞）；
（2）当a≥-

1

2

时，关于x的不等式f（x）≥1为
（a+1）x-

1

x-2

≥1，
∴ax≥

1

x-2

+1-x=

-x2+3x-1

x-2

；
当x＞0时，a≥

-x2+3x-1

x(x-2)

，
∴

-x2+3x-1

x(x-2)

≤-

1

2

，
解得2-

2

≤x＜2，或x≥2+

2

；
当x=0时，

1

2

≥1不成立，舍去；
当x＜0时，a≤

-x2+3x-1

x(x-2)

，
∴

-x2+3x-1

x(x-2)

≥-

1

2

，无解；
综上，不等式的解集是{x|2-

2

≤x＜2，或x≥2+

2

}．

点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了利用分离变量法求不等式的解集的问题，是中档题．