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14.函数f(x)=x2+(k-3)x+9(k∈R)在(1,5)内有零点,试求k的取值范围.

分析 结合二次函数的图象和性质,分函数f(x)=x2+(k-3)x+9(k∈R)在(1,5)内有两个零点和函数f(x)=x2+(k-3)x+9(k∈R)在(1,5)内有一个零点两种情况,求出满足条件的k的取值范围,综合讨论结果,可得答案.

解答 解:若函数f(x)=x2+(k-3)x+9(k∈R)在(1,5)内有两个零点,
则$\left\{\begin{array}{l}△={(k-3)}^{2}-36>0\\ 1<-\frac{k-3}{2}<5\\ f(1)=k+7≥0\\ f(5)=5k+19≥0\end{array}\right.$,解得:k∈(-$\frac{19}{5}$,-3),
若函数f(x)=x2+(k-3)x+9(k∈R)在(1,5)内有一个零点,
则$\left\{\begin{array}{l}△={(k-3)}^{2}-36=0\\ 1<-\frac{k-3}{2}<5\end{array}\right.$或f(1)•f(5)<0,
解得:k=-3,或k∈(-7,-$\frac{19}{5}$),
综上所述,k的取值范围为(-$\frac{19}{5}$,-3]∪(-7,-$\frac{19}{5}$).

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质,分类讨论思想,函数的零点,难度中档.

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