Question

（2008•和平区三模）已知函数f(x)=(

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)x-log2x，若实数x₀是方程f（x）=0的解，且0＜x₁＜x₀，则f（x₁）的值（　　）

A．等于0

B．不大于0

C．恒为正值

D．恒为负值

Answer 1

分析：方法1：由f（x）=0，得(

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)x=log?2x，分别作出函数y=(

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)x，y=log?2x的图象，利用图象确定f（x₁）的值的情况．
方法2：（函数单调性法）判断出函数的单调性，由单调性即可判断出值的符号

解答：解：：方法1（函数图象法）
由f（x）=0，得(

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)x=log?2x，分别作出函数y=(

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)x，y=log?2x的图象，
由图象可知，当0＜x₁＜x₀时，(

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)x1＞log?2x1，所以f(x1)=(

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)x1-log?2x1＞0．
故选C．
方法2：（函数单调性法）
因为函数y=(

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)x是单调减函数，y=log?₂x 在（0，+∞）上是增函数，所以根据函数单调性的性质可知，
数f(x)=(

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)x-log2x，在（0，+∞）上是减函数．
因为0＜x₁＜x₀，所以f（x₁）＞f（x₀）=0，
故选C．

点评：本题主要考查函数值符合的判断，利用根的存在性定理，结合数形结合的思想求解是解决本题的关键．