Question

已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（　　）

• A、f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
• B、f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
• C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
• D、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

Answer 1

分析：一般来讲，函数f（x）和g（x）的奇偶性相同时，f（x）+g（x）的奇偶性不变，与原来相同，但是我们要根据函数的定义域来判断，如果两个函数定义域的交集是空集，结论就不成立，由此可以对A、B、C依此举反例，即可得到正确答案为D．

解答：解：对于A，设f(x)=

1-x 2

x

，g(x)=

x 2-4

x

 两个函数都是奇函数，
而F（x）=f（x）+g（x）定义域为空集，故A不正确；
对于B，设f(x)=

1-x 2

|x|

，g(x)=

x 2-4

|x|

两个函数都是偶函数，
而F（x）=f（x）+g（x）定义域为空集，故B不正确；
对于C，设f(x)=

1-x 2

x

，g(x)=

x 2-4

|x|

，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
而F（x）=f（x）+g（x）定义域为空集，更谈不上奇偶性，故C不正确；
因此，只有D选项是正确的．
故选D

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，属于基础题．两个函数奇偶性的法则是建立在公共定义域上而言的，利用这个性质举反例，是解答本题的关键．