Question

7．（1）已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=5，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，求当k为何值时，向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$互相垂直？
（2）已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$，求$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合向量数量积为0列式求得k值；
（2）由已知求出$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，进一步求得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|，|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$，然后代入数量积求夹角公式得答案．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=5，且$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$互相垂直，
得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-{k}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
即${k}^{2}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{9}{25}$，∴k=$±\frac{3}{5}$；   
（2）由|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$，
得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=\frac{1}{2}$，即$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=\frac{1}{2}$．
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{2}$．
则$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2}，|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
设$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求向量的夹角，是中档题．