Question

设函数，，若对于任意x₁∈，总存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立．则正整数a的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：此题考查的是函数的值域的问题．在解答时可以先利用f（x）的条件转化出在上的值域，然后结合函数g（x）的性质找出函数g（x）在对应的范围，从而获的a的关系式，找出a的最小值．
解答：解：由题意可知：，令导数大于0，可解得-1＜x＜1，所以函数在上是增函数
∴，
又∵，
∴g′（x）=3x²-3a，当a是正整数时，令g′（x）=3x²-3a≥0得x≥a，或x≤-a，故函数在是减函数，
所以∈[1-，]
又对于任意x₁∈，总存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立．
∴⊆[1-，]即同时成立，解得a≥
所以正整数a的最小值为2．
故答案为：2．
点评：此题考查的是函数的值域的问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、恒成立的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．