Question

已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，直线l：（m+1）x-y-2m-3=0（m∈R）
（1）求证：无论m取什么实数，直线恒与圆交于两点；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长最小时的直线方程．

Answer 1

分析：（1）将直线l解析式变形得到直线l恒过（2，-1），再判断出此点在圆C内部，即可得到直线与圆相交，即直线恒与圆交于两点，得证；
（2）由垂径定理：（

a

2

）²=r²-d²（a表示弦长，r表示半径，d表示圆心到直线的距离），当d越大的时候，弦长a越小，根据垂线段最短可知，当l⊥CA时，直线l被圆C所截得的弦长最小，根据A与C坐标求出直线AC斜率，进而求出直线l斜率，即可确定出此时直线l的方程．

解答：解：（1）∵l：m（x-2）+（x-y-3）=0，
∴直线l恒过

x-2=0 x-y-3=0

的交点，即（2，-1），
将点（2，-1）代入圆C的方程得（2-1）²+（-1+2）²=2＜9，
∴点（2，-1）在圆内，
∴无论m取什么值，直线恒与圆相交；
（2）由垂径定理：（

a

2

）²=r²-d²（a表示弦长，r表示半径，d表示圆心到直线的距离），
当d越大的时候，弦长a越小，
根据垂线段最短可知，当l⊥CA时，直线l被圆C所截得的弦长最小，
∵A（2，-1），C（1，-2），
∴k_CA=1，
∴k_l=-1，
∴直线l的方程为y=-（x-2）-1，即x+y-1=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．