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    已知向量
    m
    =(1，1)    ，向量
    n
    与向量
    m
    夹角为
    3
    4
    π    ，且
    m
    •
    n
    =-1    ．
    （1）若向量
    n
    与向量
    q
    =（1，0）的夹角为
    π
    2
    ，向量
    p
    =(cosA，2cos2
    C
    2
    )    ，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|
    n
    +
    p
    |的取值范围．
    （2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值为5-2
    		2
    ，关于x的方程sin(ax+
    π
    3
    )=
    m
    2
    (a＞0)    在[0，
    π
    2
    ]    上有相异实根，求m的取值范围．
    分析：由题意先求出向量
    n
    的坐标满足有x2+y2=1
    （1）由向量
    n
    与向量
    q
    =（1，0）的夹角为
    π
    2
    ，故有
    n
    •
    q
    =0，由此解出向量
    n
    的坐标，代入|
    n
    +
    p
    |2，用相关公式求其范围，进而求出|
    n
    +
    p
    |∈[
    		2
    2
    ，
    		5
    2
    ）
    （2）先解出B=
    π
    3
    ，确定出A的范围，再对f（A）用换元法变形，求出其最值的表达式，判断并求出其最大值是1-2
    		2
    +a2，又已知f（A）的最大值为5-2
    		2
    ，令两者相等解出参数a的值，再由sin(2x+
    π
    3
    )=
    m
    2
    在[0，
    π
    2
    ]    上有相异实根，依据三角函数的性质求出参数m满足的范围．
    解答：解：（1）令
    n
    =（x，y），则有cos
    3
    4
    π    =
    m
    •
    n
    |m
    |•|
    n|
    =-
    		2
    2

    由
    m
    •
    n
    =-1    得|
    m
    |•|
    n
    |=
    		2
    ，又向量
    m
    =(1，1)    ，故其模为
    		2
    ，
    则向量
    n
    人模为1．则有x2+y2=1
    向量
    n
    与向量
    q
    =（1，0）的夹角为
    π
    2
    ，故有
    n
    •
    q
    =0，即x=0，故y=±1
    又
    m
    •
    n
    =-1    故y=-1，则
    n
    =（0，-1），
     向量
    p
    =(cosA，2cos2
    C
    2
    )    ，即
    p
    =(cosA，1+cosC)
    又A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列 故B=
    π
    3

    |
    n
    +
    p
    |2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2（
    2π
    3
    -A）=1+
    1
    2
    cos（2A+
    π
    3
    ）
    由A∈（0，
    2π
    3
    ），得2A+
    π
    3
    ∈（
    π
    3
    ，
    5π
    3
    ）得cos（2A+
    π
    3
    ）∈[-1，
    1
    2
    ）
    |
    n
    +
    p
    |2∈[
    1
    2
    ，
    5
    4
    ）故|
    n
    +
    p
    |∈[
    		2
    2
    ，
    		5
    2
    ）
    （2）∵A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，∴B=
    π
    3

    ∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a2 
    令t=sinA+cosA=
    		2
    sin（A+
    π
    4
    ），则2sinAcosA=t2-1
    由于A∈（0，
    π
    3
    ]，A+
    π
    4
    ∈（
    π
    4
    ，
    7π
    12
    ]，故t=
    		2
    sin（A+
    π
    4
    ）∈（1，
    		2
    ]
    故有f（A）=t2-1-2t+a2=t2-2t+a2-1，t∈（1，
    		2
    ]
    当t=
    		2
    时取到最大值为1-2
    		2
    +a2
    又f（A）的最大值为5-2
    		2
    ，故1-2
    		2
    +a2=5-2
    		2

    故a2=4，又a＞0，故a=2
    又关于的方程sin(ax+
    π
    3
    )=
    m
    2
    (a＞0)    在[0，
    π
    2
    ]    上有相异实根
    即方程sin(2x+
    π
    3
    )=
    m
    2
    在[0，
    π
    2
    ]    上有相异实根
    因为x∈[0，
    π
    2
    ]    ，故y=sin(2x+
    π
    3
    )    在（0，
    π
    12
    ）上是增函数，在（
    π
    12
    ，
    π
    2
    ）上是减函数
    方程sin(2x+
    π
    3
    )=
    m
    2
    在[0，
    π
    2
    ]    上有相异实根
    故
    m
    2
    ∈[
    		3
    2
    ，1），
    故m∈[
    		3
    ，2）．
    点评：本题考点是三角函数的最值，综合利用二次函数的最值，向量的运算，三角函数的恒等变形，三角函数的最值，及三角函数的图象，涉及到知识广度高，综合性强，做题时要有耐心地对题目中所给的每一个条件细心、严谨转化，对每一个条件所蕴含的本质进行挖掘，逐步向结论靠近，如本题中第二小题，逐层推进比较明显，答题过程中仔细体会此思维脉络．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =(
    		3
    sin
    x
    4
    ，1)，
    n
    =(cos
    x
    4
    ，cos2
    x
    4
    )    ，记f(x)=
    m
    •
    n
    ，
    （1）求f（x）的值域和单调递增区间；
    （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
    1+
    		3
    2
    ，试判断△ABC的形状．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =(λ+1，1)，
    n
    =(λ+2，2)    ，若（
    m
    +
    n
    )⊥(
    m
    -
    n
    )    ⊥(
    m
    -
    n
    )    ，则λ=
    -3
    -3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•浦东新区二模）已知向量
    m
    =(1，1)    ，向量
    n
    与向量
    m
    的夹角为
    3π
    4
    ，且
    m
    •
    n
    =-1    ．
    （1）求向量
    n
    ；
    （2）若向量
    n
    与
    q
    =(1，0)    共线，向量
    p
    =(2cos2
    C
    2
    ，cosA)    ，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|
    n
    +
    p
    |    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =(1，1)    ，向量
    n
    与向量
    m
    的夹角为
    3π
    4
    ，且
    n
    •
    m
    =-1
    （1）求向量
    n
    的坐标；
    （2）若向量
    n
    与向量
    i
    的夹角为
    π
    2
    ，向量
    p
    =(x2，a2)，
    q
    =(a2，x)    ，求关于x的不等式(
    p
    +
    n
    )•
    q
    ＜1    的解集．

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