Question

设函数f(x)＝x³－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；

(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解 (1)f′(x)＝3x²－6，令f′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.

因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－<x<时，f′(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．

当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；

当x＝时，f(x)有极小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．

(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．

因为x>1，所以k≤x²＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x²＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．

所以g(x)>g(1)＝－3.

所以k的取值范围是k≤－3.