Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点，求证：
（Ⅰ）PD∥平面ACM；
（Ⅱ）PO⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA=AB，求异面直线PD与CM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接OM，正方形ABCD中，OB=OD，
M为PB的中点，
∴PD∥OM，
∵OM面ACM，PD不在面ACM内，
∴PD∥面ACM；
（Ⅱ）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，
AC∩BD=O，
∴PO⊥面ABCD．
（Ⅲ）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点，PA=AB，设AB=1，
可得：D（﹣ ，﹣ ，0），P（0，0， ），C（ ，﹣ ，0），B（ ， ，0），M（ ， ， ），
可得： =（﹣ ，﹣ ，﹣ ）， =（﹣ ， ， ），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ，
设异面直线PD与CM所成角为α，
∴sinα=﹣ ．

【解析】（Ⅰ）欲证PD∥面ACM，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PD与面ACM内一直线平行即可，连接OM，而OB=OD，则PD∥OM，OM面ACM，PD不在面ACM内，满足定理所需条件；（Ⅱ）欲证PO⊥面ABCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PO与面ABCD内两相交直线垂直，而PA=PC，OA=OC，则PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，满足定理所需条件；（Ⅲ）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用cos＜ ， ＞= 可得：异面直线PB与AD所成角．
【考点精析】利用异面直线及其所成的角和直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．