Question

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么可求得圆心的横坐标为

 

，直线被圆所截得的弦MN的长度为

 

．

Answer 1

分析：直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，弦长可以求解．

解答：解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，∴k=1，圆x²+y²+kx+my-4=0的圆心的横坐标为-

k

2

=-

1

2

，
圆心坐标（-

1

2

，-

m

2

）在直线x+y=0上，所以m=-1，圆心坐标（-

1

2

，

1

2

），它在直线y=x+1上，
圆的半径是

3 2

2

，因而弦长是直径3

2

．
故答案为：-

1

2

、3

2

．

点评：本题考查对称知识，圆的一般方程，弦长的求法等知识；是中档题．