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【题目】已知四棱锥中,底面为等腰梯形,丄底面.

(1)证明:平面平面

(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.

【答案】(1)见证明;(2)

【解析】

(1)先证明等腰梯形,然后证明,即可得到丄平面,从而可证明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如图的空间坐标系,求出平面的法向量为,平面的法向量为,由可得到答案。

(1)证明:在等腰梯形

易得

中,

则有,故

平面平面

平面,故平面丄平面.

(2)在梯形中,设

,而,

.

以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图的空间坐标系,则

设平面的法向量为

,得

同理可求得平面的法向量为

设二面角的平面角为

所以二面角的余弦值为.

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2)疫情期间,武汉大学中南医院重症监护室(ICU)主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度,现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据.请将下列2×2列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为重症患者与并发症有关

附:若,则.

参考公式与临界值表:,其中.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【题目】如图,已知多面体中,平面.

(Ⅰ)证明:平面

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

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【题目】矩形中,,点中点,沿折起至,如图所示,点在面的射影落在上.

(1)求证:面

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在内的产品为合格品,否则为不合格品.

注:表1是甲流水线样本的频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图.

产品重量(克)

频数

6

8

14

8

4

(1)根据上面表1中的数据在图2中作出甲流水线样本的频率分布直方图;

(2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线上分别任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率分别是多少;

(3)由以上统计数据完成下面列联表,并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.

甲流水线

乙流水线

合计

合格

不合格

合计

参考公式:,其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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