Question

6．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆上．

Answer 1

分析 （1）以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x-y+2=0相切，可得$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出椭圆C的标准方程．
（2）设M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），可得直线PM的方程为：$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，直线QN的方程为：$y=\frac{{y}_{0}-2}{-{x}_{0}}$x+2，设T（x，y），联立基础代入椭圆方程即可得出．

解答 （1）解：∵以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x-y+2=0相切，
∴$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，解得b=$\sqrt{2}$．
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²=8，c=$\sqrt{6}$，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）证明：设M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），可得直线PM的方程为：$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，直线QN的方程为：$y=\frac{{y}_{0}-2}{-{x}_{0}}$x+2，
设T（x，y），联立解得x₀=$\frac{x}{2y-3}$，y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，∴$\frac{1}{8}（\frac{x}{2y-3}）^{2}$+$\frac{1}{2}（\frac{3y-4}{2y-3}）^{2}$=1，
化为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
∴点T在椭圆上．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．