Question

4．求函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期、递减区间和递增区间．

Answer 1

分析 由正弦加法定理和余弦加法定理求出f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），由此利用正弦函数的性质能求出f（x）的最小正周期、递减区间和递增区间．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x
=$\sqrt{3}cos4x+sin4x$
=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
递减区间满足：$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴递减区间为[$\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
递增区间满足-$\frac{π}{2}$+2k$π≤4x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴递增区间为[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$]．k∈Z．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、递减区间和递增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦加法定理、余弦加法定理、正弦函数性质的合理运用．