Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知表达式，直接求解f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）化简函数的表达式，利用函数f（x）的周期公式求解，通过正弦函数的单调递增区间求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
所以f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+cos（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{3}sin\frac{π}{6}+cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$-------------------------（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
所以f（x）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$））
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）
=2sin2x．--------------（8分）
所以周期T=$\frac{2π}{2}$=π．--------------------------（10分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2}$，--------------------------（11分）
解得$kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{4}]$，k∈Z．--------------------------（13分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，三角函数的正确的求法，得到求解的求法，考查计算能力．