Question

1．一个无穷等比数列{a_n}中a_n＞0，且若a₂+a₃+a₄+…+a${\;}_{{n}_{\;}}$+…≤$\frac{{a}_{1}}{2}$，求公比q的取值范围．

Answer 1

分析 由无穷等比数列的求和公式，可得S=$\frac{{a}_{2}}{1-q}$，再由等比数列的通项公式，解不等式，结合0＜q＜1，即可得到所求范围．

解答 解：a₂+a₃+a₄+…+a${\;}_{{n}_{\;}}$+…≤$\frac{{a}_{1}}{2}$，
由无穷等比数列的求和公式，可得
S=$\frac{{a}_{2}}{1-q}$≤$\frac{{a}_{1}}{2}$，
即为$\frac{{a}_{1}q}{1-q}$≤$\frac{{a}_{1}}{2}$，
即有$\frac{3q-1}{1-q}$≤0，
解得q≤$\frac{1}{3}$或q＞1，
由0＜q＜1，可得
0＜q≤$\frac{1}{3}$．
则公比q的范围是（0，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查无穷等比数列的求和公式的运用，考查二次不等式的解法，属于中档题．