Question

20．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），
（1）求这个几何体的体积；
（2）求这个几何体的表面积．

Answer 1

分析 该几何体为底面是正方形的四棱锥，顶点在底面的射影在底面一边的中点上．

解答 解：（1）由三视图可知该几何体为四棱锥，底面是边长为20的正方形，棱锥的高是20，顶点在底面的射影在底面一边的中点上．如图，
∴V=$\frac{1}{3}×20×20×20$=$\frac{8000}{3}$
（2）棱锥的左侧面△SDA为等腰三角形，SB=$\sqrt{S{M}^{2}+B{M}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，∴SA=SD=$\sqrt{A{B}^{2}+S{B}^{2}}$=30．
过S做AD的垂线SN，垂足为N，则SN=$\sqrt{S{A}^{2}-A{N}^{2}}$=20$\sqrt{2}$，
∴S=20²+$\frac{1}{2}×20×20$+$\frac{1}{2}×20×10\sqrt{5}×2$+$\frac{1}{2}×20×20\sqrt{2}$=600+200$\sqrt{2}$+200$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，作出直观图是解题关键．