Question

如图，在四面体A-BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．
（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；
（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质可得CE⊥BD，再利用面面垂直的性质可得CE⊥平面ABD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用三角形的中位线定理可得EF∥AD，再利用线面平行的性质及MN∥平面ABD，可得MN∥EF，利用平行线的传递性可得MN∥AD，利用线面平行的判定定理可得MN∥平面ACD，再利用线面平行的性质即可得出MN∥GH．

解答：证明：（1）∵CB=CD，E为BD的中点，∴CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CE⊥平面ABD，
∵CE?平面EFC，∴平面ABD⊥平面EFC；
（2）∵点E、F分别为BD，AB的中点，∴EF∥AD．
∵MN∥平面ABD，平面CEF∩平面ABD=EF，
∴MN∥EF，
∴MN∥AD，
而MN?平面ACD，AD?平面ACD，
∴MN∥平面ACD，
∵平面BMN∩平面ACD=GH，
∴MN∥GH．

点评：本题综合考查了线面平行和垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的性质定理、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力．