Question

（2012•河南模拟）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

=(

2

，-1)共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由A（a，0）、B（0，b），知

AB

=(-a，b)，由

AB

与

n

=(

2

，-1)共线，知a=

2

b，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，故x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=(-a，b)，
∵

AB

与

n

=(

2

，-1)共线，
∴a=

2

b，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆E的标准方程为

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，
消去y，得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

（7分）
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）                 （8分）
∵原点O总在以PQ为直径的圆内，
∴

OP

•

OQ

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0（9分）
又y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

由

m2-2k2

2k2+1

+

2m2-2

2k2+1

＜0得m2＜

2

3

k2+

2

3

，
依题意m2＜

2

3

且满足（*）       （11分）
故实数m的取值范围是(-

6

3

，

6

3

)（12分）

点评：本题考查椭圆参数方程的求法，考实数的取值范围，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．